Тригонометрические уравнения, содержащие корни и модули

• Тригонометрические уравнения, содержащие корни и модули, сводятся к обычным тригонометрическим уравнениям.
• Важно помнить, что подкоренное выражение и модуль любого числа неотрицательны.
• Примеры.

  1. Решить уравнение $\sqrt{5\cos 𝑥-\cos 2𝑥}+2\sin 𝑥=0.$

Решение.

Исходное уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}5\cos 𝑥-\cos 2𝑥=4{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2𝑥,\\ \sin 𝑥\le 0;\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\pi 𝑛,\\ 𝑥=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2𝜋𝑛,𝑛\in \mathbb{Z},\end{array}\right.\\ \sin 𝑥\le 0;\end{array}\iff 𝑥=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }𝑛,𝑛\in \mathbb{Z}.\right.\right.$

2) Решить уравнение $2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2𝑥=|\sin 𝑥|.$

Решение.

Раскрывая знак модуля, получаем две системы

$\left\{\begin{array}{c}\sin 𝑥\ge 0,\\ 2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2𝑥=\sin 𝑥\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{c}\sin 𝑥<0,\\ 2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2𝑥=-\sin 𝑥.\end{array}\right.$

Решив обе системы, получим ответ: $\left\{\mathrm{\pi }𝑛,\pm \frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{\pi }𝑛,𝑛\in \mathbb{Z}\right\}$.