Различные методы решения тригонометрических уравнений

• Метод оценки основан на свойствах ограниченности некоторых тригонометрических функций: –1 ≤ sin x ≤ 1, –1 ≤ cos x ≤ 1.

При использовании этого метода нужно проанализировать левые и правые части уравнения.

• Пример.

Рассмотрим уравнение sin 2x + sin 3x = 2.

Это равенство может быть выполнено только в случае, когда

$\left\{\begin{array}{c}\sin 2𝑥=1,\\ \sin 3𝑥=1;\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\pi 𝑛,\\ 𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2\pi 𝑚,\end{array}𝑛,𝑚\in \mathbb{Z};\iff 𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{12}+2\mathrm{\pi }𝑛,𝑛\in \mathbb{Z}.\right.\right.$

• Метод введения дополнительного угла используется для уравнений вида

a sin x + b cos x = c.

При использовании этого метода нужно разделить обе части уравнения на $\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2}$, ввести дополнительный угол , для которого $\cos \mathrm{\alpha }=\frac{𝑎}{\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2}}$, $\sin \mathrm{\alpha }=\frac{𝑏}{\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2}},$ а затем использовать формулу синуса суммы.

• Пример.

$\sqrt{3}\sin 𝑥+\cos 𝑥=2\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 𝑥+\frac{1}{2}\cos 𝑥=1\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \frac{\mathrm{\pi }}{6}\cdot \sin 𝑥+\sin \frac{\mathrm{\pi }}{6}\cdot \cos 𝑥=1\iff$

$\iff$ $\sin \left(𝑥+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=1\iff 𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }𝑛,𝑛\in \mathbb{Z}.$