Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

• Метод разложения на множители является одним из наиболее часто используемых при решении тригонометрических уравнений.
• При использовании этого метода уравнение нужно преобразовать таким образом, чтобы одна часть уравнения представляла из себя произведение, а вторая – число 0.
• Пример.

Решим уравнение sin² x + sin² 2x = sin² 3x.

Решение.

sin² x + sin² 2x = sin² 3x,

1 – cos 2x + 2 sin² 2x = 1 – cos 6x,

2sin² 2x + cos 6x – cos 6x = 0,

2 sin² 2x – 2(sin 4x $\cdot$ sin 2x) = 0,

sin 2x (sin 2x – sin 4x) = 0,

2 sin 2x $\cdot$ sin x $\cdot$cos 3x = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

$\left[\begin{array}{c}\sin 𝑥=0,\\ \sin 2𝑥=0,\\ \sin 3𝑥=0;\end{array}\iff \right.$ $\left[\begin{array}{c}𝑥=\pi 𝑛,\\ 𝑥=\frac{\mathrm{\pi }𝑚}{2},\\ 𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }𝑘}{3},\end{array}\mathrm{г}\mathrm{д}\mathrm{е} 𝑛,𝑚,𝑘\in \mathbb{Z}.\right.$

Ответ. $\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }\mathrm{n}}{3};\frac{\mathrm{\pi }𝑛}{2} : 𝑛\in \mathbb{Z}\right\}$.