Решение тригонометрических уравнений методом замены

• Алгоритм решения тригонометрических уравнений методом замены неизвестного:

  1. преобразование исходного уравнения с помощью тригонометрических формул, если это необходимо;
  2. замена неизвестного и переход к новому уравнению;
  3. решение нового уравнения;
  4. обратная замена и решение простейшего тригонометрического уравнения.

Пример. Решить уравнение $\mathrm{t}\mathrm{g} \frac{𝑥}{2}+3 \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{𝑥}{2}=4$.

1. $𝑡=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{𝑥}{2}$ ⟹ $𝑡+\frac{3}{𝑡}=4$; t² + 3 = 4t; t² – 4t + 3 = 0;

2. t₁ = 1, t₂ = 3;

3. $\left[\begin{array}{c}tg \frac{𝑥}{2}=1,\\ tg \frac{𝑥}{2}=3,\end{array}\right.$ ⟹ $\left[\begin{array}{c}\frac{𝑥}{2}=arctg 1+\pi 𝑛,\\ \frac{𝑥}{2}=arctg 3+\pi 𝑛, 𝑛 ϵ Z,\end{array}\right.$⟹ $\left[\begin{array}{c}𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\pi 𝑛,\\ 𝑥=2 arctg 3+2\pi 𝑛, 𝑛 ϵ Z.\end{array}\right.$

Ответ: $𝑥=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }𝑛,$ $𝑥=2 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} 3+2\mathrm{\pi }𝑛, 𝑛 \mathrm{ϵ} \mathrm{Z}$.