Решение тригонометрических уравнений методом замены переменных

1. преобразование исходного уравнения с помощью тригонометрических формул, если это необходимо;
2. замена неизвестного и переход к новому уравнению;
3. решение нового уравнения;
4. обратная замена и решение простейшего тригонометрического уравнения.

Пример. Решите уравнение

$tg \frac{x}{2}+3 ctg\frac{x}{2}=4$.

$t=tg \frac{x}{2}$ ⟹ $t+\frac{3}{t}=4$,

t² + 3 = 4t,

t² – 4t + 3 = 0,

t₁ = 1, t₂ = 3,

$\left\{\begin{array}{c}\text{t}\text{g}\frac{x}{2}=1,\\ \text{t}\text{g} \frac{x}{2}=3,\end{array} \Rightarrow \right. \left\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}=\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{g}\text{1}\text{+}\text{π}n,\hfill \\ \frac{x}{2}=\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{g} 3+\text{π}n, n\in \text{ℤ},\hfill \end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\text{π}n,\hfill \\ x=\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{g}\text{3}\text{+}\text{π}n, n\in \text{ℤ}\text{.}\hfill \end{array}\right.$

Ответ. $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\text{π}n$, $x=2 arctg 3+2πn, n\in ℤ$.