Синус, косинус и тангенс половинного угла

• Формулы половинного угла:

  • ${\sin }^2 \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{1-\cos \mathrm{\alpha }}{2}$

  • ${\cos }^2 \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{1+\cos \mathrm{\alpha }}{2}$

  • ${\mathrm{tg}}^2 \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{1-\cos \mathrm{\alpha }}{1+\cos \mathrm{\alpha }}$

Пример, найти $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }}{8}$.

${\cos }^2 \frac{\mathrm{\pi }}{8}=\frac{1 + \cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}}{2}=\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$. $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }}{8}$ положителен, так как

$0<\frac{𝜋}{8}<\frac{𝜋}{2}$, следовательно, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }}{8}=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.