Облако знаний. Простейшие логарифмические неравенства. Математика. 11 класс

Простейшие логарифмические неравенства

Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства log_a x ＞ b и log_a x ＜ b называют простейшими логарифмическими неравенствами.
Пример. Неравенства log₂ x ＞ 3, log_0,5 x ＜ –2,5 являются простейшими логарифмическими неравенствами.
Неравенства log_a x ＞ b и log_a x ＜ b можно переписать в виде log_a x ＞ log_a x₀ и log_a x ＜ log_a x₀, где x₀ = a^b.
При a ＞ 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства log_a x ＞ log_a x₀ есть интервал (x₀; +∞), а множество всех решений неравенства log_a x ＜ log_a x₀ есть интервал (0; x₀).
При 0 ＜ a ＜ 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства log_a x ＞ log_a x₀ есть интервал (0; x₀), а множество всех решений неравенства log_a x ＜ log_a x₀ есть интервал (x₀; +∞).
Пример. Решить неравенство $\log_{4} 𝑥 > \frac{1}{2}$ .
Решение. $\frac{1}{2} = \log_{4} 𝑥 ⟹ \log_{4} 𝑥 > \log_{4} 2$ . Так как 4 ＞ 1, то функция y = log₄ x возрастающая.
Ответ: (2; +∞).

Было полезно?