Математика • 10 класс

Степень с рациональным показателем

Степенью числа a ＞ 0 с рациональным показателем $𝑟 = \frac{𝑚}{𝑛}$ , где $𝑚 \in ℤ, 𝑛 \in ℕ$ , называется число ${𝑎^{𝑟} = 𝑎}^{\frac{𝑚}{𝑛}} = \sqrt[𝑛]{𝑎^{𝑚}}$ .
Степень числа 0 с положительным рациональным показателем r равна 0: $0^{𝑟} = 0$ , где r ＞ 0.
Примеры. $7^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{7^{2}}$ ; $4^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{4^{3}}$ ; $9^{- \frac{1}{4}} = \sqrt[4]{9^{- 1}}$ .
Пусть a ＞ 0, b ＞ 0, x и y – рациональные числа, тогда справедливо:
1. $𝑎^{𝑥} > 0,$
2. $𝑎^{𝑥} \cdot 𝑎^{𝑦} = 𝑎^{𝑥 + 𝑦},$
3. $𝑎^{𝑥} : 𝑎^{𝑦} = 𝑎^{𝑥 - 𝑦},$
4. ${(𝑎^{𝑥})}^{𝑦} = 𝑎^{𝑥 \cdot 𝑦},$
5. ${(𝑎 \cdot 𝑏)}^{𝑥} = 𝑎^{𝑥} \cdot 𝑏^{𝑥},$
6. ${(\frac{𝑎}{𝑏})}^{𝑥} = \frac{𝑎^{𝑥}}{𝑏^{𝑥}} .$