Сумма первых членов геометрической прогрессии

• Бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q, где |q| ＜ 1, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

• Например, $5, 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \frac{1}{125}, \dots ,$ где $𝑞=\frac{1}{5}$.

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$𝑆=\frac{{𝑏}_1}{1-𝑞}$.

• Пример. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь 0,8(3) в виде обыкновенной.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии b₁ = 0,03, знаменатель прогрессии q = 0,1.

$𝑆=\frac{{𝑏}_1}{1-𝑞}=\frac{\mathrm{0,03}}{1-\mathrm{0,1}}=\frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,9}}=\frac{1}{30}$. Тогда $\mathrm{0,8}\left(3\right)=\mathrm{0,8}+\frac{1}{30}=\frac{5}{6}.$

Ответ: $\frac{5}{6}.$