Сумма первых членов арифметической прогрессии

• Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

  • ${𝑆}_{𝑛}=\frac{{𝑎}_1+{𝑎}_{𝑛}}{2}\cdot 𝑛,$

    где a₁ – первый член прогрессии, a_n – n-й член прогрессии, n – количество членов арифметической прогрессии;

  • ${𝑆}_{𝑛}=\frac{2{𝑎}_1+𝑑(𝑛-1)}{2}\cdot 𝑛,$

    где a₁ – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, n – количество членов арифметической прогрессии.

Пример. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 5,

a₁ = 2. Найдите сумму первых 7 её членов.

${𝑆}_{𝑛}=\frac{2{𝑎}_1+𝑑(𝑛-1)}{2}\cdot 𝑛=\frac{2\cdot 2+5\left(7-1\right)}{2}\cdot 7=\frac{4+30}{2}\cdot 7=119.$

Ответ: 119.

Пример. Настя решает 35 задач, ежедневно увеличивая количество решённых в день задач на одно и то же число. В первый и последний день в сумме Настя решила 14 задач. Определите, за сколько дней Настя решила все задачи.

${𝑆}_{𝑛}=\frac{{𝑎}_1+{𝑎}_{𝑛}}{2}\cdot 𝑛⟹𝑛=\frac{2{𝑆}_{𝑛}}{{𝑎}_1+{𝑎}_{𝑛}}=\frac{2\cdot 35}{14}=5.$

Ответ: 5.