Понятие об иррациональных уравнениях

• Иррациональные уравнения – это уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.
• Виды иррациональных уравнений:

  • $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}=𝑎$, где а – некоторое число, f (x) – рациональное выражение. Корень чётной степени n из числа a – это любое неотрицательное число b такое, что bⁿ = a. Корень нечётной степени из числа a — это любое число b, для которого выполняется то же равенство: bⁿ = a.

Пример. $\sqrt{𝑥}=3$.

• $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}+\sqrt{𝑔\left(𝑥\right)}=0$. Сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. То есть, $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}=0$, $\sqrt{𝑔\left(𝑥\right)}=0$.

Пример. $\sqrt{𝑥-2}+\sqrt{2𝑥-4}=0$.

• $\sqrt{𝑓\left(𝑥\right)}=\sqrt{𝑔\left(𝑥\right)}.$Область допустимых значений арифметического квадратного корня f (x) ≥ 0. Здесь f (x) ≥ 0 и g (x) ≥ 0.

Пример. $\sqrt{𝑥+1}=\sqrt{2𝑥-14}$.