Степень с рациональным показателем

• Степень положительного числа a с рациональным показателем r, представленным в виде $\frac{\mathrm{𝑚}}{\mathrm{𝑛}}$, – число $\sqrt[\mathrm{𝑛}]{{\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}}$, при n ∈ N, n ＞ 1.

${\mathrm{𝑎}}^{\frac{\mathrm{𝑚}}{\mathrm{𝑛}}}=\sqrt[\mathrm{𝑛}]{{\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}}$

• Например, $2^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{2^3}$; $4^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{4}$; $8^{\mathrm{0,3}}=8^{\frac{3}{10}}=\sqrt[10]{8^3}$.

• Свойства степеней для любого a ＞ 0, b ＞ 0 и любых рациональных чисел m и n:

  • ${\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}\cdot {\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑛}}={\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}+\mathrm{𝑛}}$

  • ${\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}:{\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑛}}={\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}-\mathrm{𝑛}}$

  • ${\left({\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}\right)}^{\mathrm{𝑛}}={\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}\cdot \mathrm{𝑛}}$

  • ${(\mathrm{𝑎}\cdot \mathrm{𝑏})}^{\mathrm{𝑚}}={\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}\cdot {\mathrm{𝑏}}^{\mathrm{𝑚}}$

  • ${\left(\frac{\mathrm{𝑎}}{\mathrm{𝑏}}\right)}^{\mathrm{𝑚}}=\frac{{\mathrm{𝑎}}^{\mathrm{𝑚}}}{{\mathrm{𝑏}}^{\mathrm{𝑚}}}$