Линейные неравенства с модулями

• Неравенства вида $\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|<𝑔 \left(𝑥\right)$ решаются по схеме:

$\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|<𝑔 \left(𝑥\right)⟹-𝑔 \left(𝑥\right)<𝑓 \left(𝑥\right)<𝑔 \left(𝑥\right)⟹\left\{\begin{array}{c}𝑓 \left(𝑥\right)<𝑔 \left(𝑥\right),\\ 𝑓 \left(𝑥\right)>-𝑔 \left(𝑥\right).\end{array}\right.$

• Неравенства вида $\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|>𝑔 \left(𝑥\right)$ решаются по схеме:

$\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|>𝑔 \left(𝑥\right)⟹\left[\begin{array}{c}𝑓 \left(𝑥\right)>𝑔 \left(𝑥\right),\\ 𝑓 \left(𝑥\right)<-𝑔 \left(𝑥\right).\end{array}\right.$

• При решении неравенств вида $\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|>\left|𝑔 \left(𝑥\right)\right|$ необходимо возводить обе части неравенства в квадрат: ${\left(\left|𝑓 \left(𝑥\right)\right|\right)}^2 = {\left(𝑓 \left(𝑥\right)\right)}^2$.

• Алгоритм решения неравенств с модулями методом перебора:

  • выписать все выражения, находящиеся под модулем, и приравнять их к нулю;
  • решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой;
  • прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается;
  • решить неравенство на каждом таком участке;
  • результаты объединить — это ответ.