Математика • 9 класс

Понятие об иррациональных уравнениях

Иррациональные уравнения – это уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.
Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в квадрат.
После того, как найденные корни полученного уравнения, необходимо убедиться путём подстановки, что эти корни «подходят» к исходному уравнению.
Пример. Решите уравнение $\sqrt{4 x - 1} = 2 x$ .
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат:
$4 x - 1 = 4 x^{2},$
$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0,$
${(2 x - 1)}^{2} = 0,$
$x = \frac{1}{2} .$
Подстановкой $x = \frac{1}{2}$ в исходное уравнение убеждаемся, что он является его решением.
Некоторые иррациональные уравнения легко решить, избавляясь от иррациональности путём замены переменных.
Пример. Уравнение $x + 2 \sqrt{x} - 3 = 0$ решается путём замены переменных $y = \sqrt{x}$ .

Было полезно?