Методы решения иррациональных неравенств

• метод последовательных упрощений;
• переход от исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем неравенств;
• метод замены переменной;
• метод интервалов;
• функционально-графический метод.

Пример. Решите неравенство $\left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}\ge x^2-1.$

Решение. Перенесём слагаемые из правой части неравенства в левую и выполним преобразования. Получим:

$\left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}-\left(x^2-1\right)\ge 0; \left(x+1\right)\sqrt{x^2+1}-\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge 0;$

$\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\left(x-1\right)\right)\ge 0;\left(x+1\right)(\sqrt{x^2+1}-x+1)\ge 0.$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

$\left\{\begin{array}{c} x+1\ge 0,\hfill \\ \sqrt{x^2+1}-x+1\ge 0;\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c} x\ge -1,\hfill \\ \sqrt{x^2+1}\ge x-1;\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ge -1, \\ \left[\begin{array}{c} x-1<0, \\ \left\{\begin{array}{c} x-1\ge 0, \\ x^2+1\ge x^2-2x+1; \end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}x\ge -1,\\ \left[\begin{array}{c}x<1, \\ \left\{\begin{array}{c}x\ge 1,\\ x\ge 0;\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ge -1, \\ \left[\begin{array}{c}x<1, \\ x\ge 1; \end{array}\right.\end{array}\right.x\ge -1$.

$\left\{\begin{array}{c}x+1\le 0,\hfill \\ \sqrt{x^2+1}-x+1\le 0;\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c} x\le -1,\hfill \\ \sqrt{x^2+1}\le x-1;\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c} x\le -1,\hfill \\ x^2+1\le x^2-2x+1;\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ge -1,\\ x\le 0;\hfill \end{array}\right.$ нет решений.

Ответ. [–1; +∞).