Методы решения логарифмических неравенств

• метод последовательных упрощений;
• переход к равносильной системе неравенств;
• метод замены переменных;
• функционально-графический метод.

Пример 1. Решите неравенство log₂ (x – 2) ≤ 1 – log₂ (x – 3).

Решение 1. Перенесём логарифмы в одну сторону и выполним преобразования. Получим:

 log₂ (x – 2) + log₂ (x – 3) ≤ 1; log₂ (x – 2) (x – 3) ≤ 1; log₂ (x – 2) (x – 3) ≤ log₂ 2.

В итоге получаем систему неравенств:

$\left\{\begin{array}{c}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\le 2,\\ x>3;\hfill \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{c}1\le x\le 4,\\ x>3.\hfill \end{array}\right.\iff x\in \left(3;4\right].$

Ответ. (3; 4].

Пример 2. Решите неравенство lg² x – lg x ≤ 2.

Решение 2. Перенесём слагаемые из правой части неравенство в левую. Получим:

 lg² x – lg x – 2 ≤ 0.

Введём замену переменной t = lg x, тогда $t^2-t-2\le 0,$ $-1\le t\le 2.$

Сделаем обратную замена и решим полученное неравенство:

–1 ≤ lg x ≤ 2,

$\mathrm{0,1}\le x\le 100$.

Ответ. $[\mathrm{0,1};100]$.