Решение неравенств с модулем методом последовательных упрощений

• найти нули подмодульных выражений – определить точки, где выражения под модулем обращаются в нуль;
• разбить числовую прямую на промежутки этими точками;
• раскрыть модуль с учётом знаков на каждом промежутке;
• решить неравенство на каждом промежутке;
• объединить решения всех промежутков.

Пример. Решите неравенство: $\left|x-2\right|+\left|x+3\right|<5$. Нули подмодульных выражений: $x-2=0\Rightarrow x=2$; $x+3=0\Rightarrow x=-3$. Разбиваем числовую прямую на промежутки. Рассмотрим каждый интервал отдельно.
1) $x<-3$. $\left|x-2\right|=-\left(x-2\right)=-x+2$. $\left|x+3\right|=-\left(x-3\right)=-x+3$. Подставляем в неравенство, решение: x ∈ (–∞; 3).
2) $-3\le x\le 2$. $\left|x-2\right|=-\left(x-2\right)=-x+2$. $\left|x+3\right|=x+3$. Подставляем в неравенство. Решений нет.
3) $x>2$. $\left|x-2\right|=x-2$. $\left|x+3\right|=x+3$. Подставляем в неравенство, решение: x ∈ (2; +∞).
Ответ. x ∈ (–∞; 3) ∪ (2; +∞).