Решение иррациональных неравенств методом замены переменных

• найти область определения неравенства;
• преобразовать неравенство;
• обозначить новой переменной t весь корень целиком, а не только подкоренное выражение;
• решить полученное алгебраическое неравенство относительно t;
• вернуться к исходной переменной, подставив t в замену;
• решить полученное простейшее показательное неравенство;
• пересечь найденное решение с областью допустимых значений.

Пример. Решите неравенство $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}<\frac{5}{2}.$ ОДЗ: $\frac{x-1}{x+1}\ge 0$; x ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞). Введём новую переменную: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=t,$ тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{1}{t}.$ Получаем: $t+\frac{1}{t}<\frac{5}{2}.$ Решив неравенство, получим: $\frac{1}{2}<t<2.$ Вернёмся к исходной переменной: $\frac{1}{2}<\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}<2.$ Решим двойное неравенство, получим ответ, объединим с ОДЗ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{5}{3}; +\infty \right).$