Решение логарифмических неравенств разных типов

• найти область допустимых значений;
• упростить выражения, используя свойства логарифмов;
• привести неравенство к простейшему виду;
• решить полученное неравенство с учётом монотонности функции;
• пересечь решение с ОДЗ.

Пример 1. Решите неравенство ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2^2\left(x\right)-3 {\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2\left(x\right)$ $+2<0$.
Решение 1. ОДЗ: $x>2$. Введём замену переменной ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a\left(x\right)=t.$ Решим квадратное неравенство, выполним обратную замену, объединим с ОДЗ.
Ответ 1. $x\in \left(2;4\right).$

Пример 2. Решите неравенство log₃ (x² – 4) – log₃ (x + 2)＞1.
Решение 2. Используем свойство разности логарифмов, представим 1 = log₃ 3. ОДЗ: $x>2$. Решим полученное неравенство, объединим с ОДЗ.
Ответ 2. x ∈ (5; +∞).

Пример 3. Решите неравенство log_x + 1 (2x + 3)＞1.
Решение 3. ОДЗ: $x\in \left(-1;0\right)$ ∪ (0; +∞). Представим 1 = log_x + 1 (x + 1). Рассмотрим случаи: $a>0$ и $0<a<1$. Объединим решения и ОДЗ.
Ответ 3. x ∈ (0; +∞).