Математика • 11 класс

Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Определённый интеграл от функции $y = f (x)$ по отрезку $[a; b]$ – это предел интегральной суммы $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ для функции $y = f (x)$ , непрерывной на отрезке $[a; b]$ , при разбиении этого отрезка на $n$ равных частей. Обозначают так: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс).
Числа a и b называют пределами интегрирования (нижним и верхним).
Формула Ньютона – Лейбница:
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |\begin{matrix} b \\ a \end{matrix} = F (b) - F (a),$
где $F (x)$ – первообразная функции $f (x)$ , непрерывной на отрезке $[a; b]$ .
Пример. Вычислите $\int_{- 1}^{3} x^{3} .$
Решение. Первообразной для $x^{3}$ служит $\frac{x^{4}}{4}$ . Значит,
$\int_{- 1}^{3} x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} |\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} = \frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20 .$
Ответ. $20 .$

Было полезно?