Математика • 11 класс

Неопределённый интеграл. Правила интегрирования

Если функция $y = f (x)$ имеет на промежутке X первообразную $y = F (x),$ то множество всех первообразных, то есть множество функций вида $y = F (x) + C$ (где C – произвольная константа), называют неопределённым интегралом от функции $y = f (x)$ и обозначают $\int f (x) d x$ (читают: неопределённый интеграл эф от икс дэ икс).
Правила интегрирования:
- интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов этих функций: $\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ ;
- постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ ;
- если $\int f (x) d x = F (x) + C$ , то $\int f (k x + m) d x = \frac{F (k x + m)}{k} + C$ .
Пример. Найдите неопределённый интеграл $\int (\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^{2}}) d x .$
Решение. Воспользуемся первым и вторым правилами интегрирования, получим:
$\int (\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^{2}}) d x = 3 \int \frac{d x}{\sqrt{x}} - 5 \int \frac{d x}{x^{2}} .$
Теперь воспользуемся формулами интегрирования:
$3 \int \frac{d x}{\sqrt{x}} - 5 \int \frac{d x}{x^{2}} = 3 \cdot 2 \sqrt{x} - 5 \cdot (\frac{- 1}{x}) + C = 6 \sqrt{x} + \frac{5}{x} + C .$

Было полезно?