Использование производной для определения промежутков возрастания и убывания функции

Пусть функция $y=f \left(x\right)$ непрерывна на промежутке X и имеет производную $f^{\prime }\left(x\right)$ в каждой точке промежутка X. Тогда:

• если $f^{\prime }\left(x\right) >0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ возрастает на промежутке X;

• если $f^{\prime }\left(x\right)<0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ убывает на промежутке X;

• если $f^{\prime }\left(x\right)=0$ для всех x внутри промежутка X, то функция $y=f \left(x\right)$ есть постоянная (константа) на промежутке X.

Пример. Докажите, что функция $y=x^5+2x^3 -4$ возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Найдём производную заданной функции. Получим:

$f^{\prime }\left(x\right)=5x^4+6x^2.$

Очевидно, что при всех $x$ выполняется неравенство $5x^4+6x^2\ge 0$, причём $f^{\prime }\left(x\right)=0$ лишь в точке $x=0$. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.