Применение производных для решения геометрических задач в пространстве

Геометрические задачи решаются разными методами, одним из которых является применение производной. При использовании данного метода, решение задач сводится к исследованию функции.

Пример. Какие измерения имеет прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются квадраты, если его объём равен 32 см³, а периметр боковой грани является наименьшим? Чему равно наименьшее значение периметра боковой грани этого параллелепипеда?

Решение. Пусть сторона квадрата, являющаяся основанием параллелепипеда, равна x см. Боковое ребро – y см. Известно, что $V=32 {\mathrm{с}\mathrm{м}}^3$. Периметр боковой грани равен P = 2x + 2y = 2 (x + y). Так как периметр должен быть наименьшим, нужно минимизировать функцию, зависящую от двух переменных x и y. Эти переменные связаны формулой объёма $V=x^{2}y=32$. Выразим $y=\frac{32}{x^2}$, тогда $P=2\left(x+\frac{32}{x^2}\right)=P\left(x\right)$. Найдём производную $P^{\prime }\left(x\right)=2-\frac{128}{x^3}$. Точка минимума $x=4$. Найдём $y=\frac{32}{4^2}=2$. $P=2\left(4+2\right)=12$ (см).

Ответ. Параллелепипед имеет измерения $4 \times 4 \times 2$. Наименьшее значение периметра боковой грани равно 12 см.