Упрощение выражений, содержащих логарифмы

• свойства произведения и частного логарифмов;
• вынесение степени за знак логарифма;
• приведение логарифмов к одному основанию;
• преобразование десятичных дробей в обыкновенные;
• разложение на множители.

Пример. Упростите выражение $\sqrt{{343}^{\frac{2}{3 {\log }_{27} 7}}}.$
Решение. Упростим показатель степени подкоренного выражения:

$\frac{2}{3{ \log }_{27} 7}=\frac{2}{3 {\log }_{3_{}^3} 7}=\frac{2}{3\cdot \frac{1}{3}{\log }_3 7}=2\cdot \frac{1}{{\log }_3 7}=2{ \log }_7 3.$

Тогда $\sqrt{{343}^{\frac{2}{3 {\log }_{27} 7}}}=\sqrt{{343}^{2 {\log }_7 3}}=\sqrt{{\left(7^3\right)}^{2 {\log }_7 3}}=\sqrt{{\left(7^{{\log }_7 3}\right)}^6}=\sqrt{3^6}=3^3=27.$

Ответ. 27.