Решение показательных уравнений методом замены переменных

• определить возможность замены (замена не всегда очевидна, поэтому уравнение нужно предварительно преобразовать);
• ввести новую переменную;
• решить уравнение относительно новой переменной;
• выполнить обратную замену и найти корни изначального уравнения.

Пример. Решите уравнение $9\cdot {27}^{x-\frac{2}{3}}-\frac{2}{81}\cdot 9^{x+2}=9.$

Решение. Выполним некоторые преобразования уравнения:

$9\cdot \frac{{27}^x}{{27}^{\frac{2}{3}}}-$ $\frac{2}{81}\cdot 9^x\cdot 9^2-9=0;$

$3^{3x}-2\cdot 3^{2x}-9=0.$

Введём новую переменную $t=3^x$, тогда уравнение примет вид:

$t^3-2t^2-9=0.$

Решим полученное уравнение методом разложения на множители, откуда получим корень $t=3$.

Сделаем обратную замену:

$3^x=3;x=1.$

Ответ. 1.