Решение показательных уравнений методом последовательных упрощений

Упрощения могут быть следующие: приведение к одинаковому основанию, вынесение общего множителя за скобки, группировка, почленное деление на одну из степеней.

Пример 1. Решите уравнение $7^{x+2}+4\cdot 7^{x+1}=539.$

Решение. Упростим выражение, чтобы вынести множитель за скобки, получим:

$7^x\cdot 7^2+4\cdot 7^x\cdot 7=539;7^x\left(49+28\right)=539;7^x=\frac{539}{77};7^x=7;x=1.$

Ответ. 1.

Пример 2. Решите уравнение $3\cdot 2^{2x}+\frac{1}{2}\cdot 9^{x+1}-6\cdot 4^{x+1}=-\frac{1}{3}\cdot 9^{x+2}.$

Решение. Соберём степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем их сгруппируем:

$9^x\left(\frac{1}{2}\cdot 9+\frac{1}{3}\cdot 9^2\right)=4^x\left(6\cdot 4-3\right);9^x\cdot \mathrm{31,5}=$ $4^x\cdot 21$.

Разделим обе части уравнения на одну из степеней, получим:

$\frac{3}{2}={\left(\frac{4}{9}\right)}^x; {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1};2x=-1;x=-\mathrm{0,5}.$

Ответ. $-\mathrm{0,5}$.