Использование формул сокращённого умножения для избавления от иррациональности

Формула разности квадратов позволяет избавиться от иррациональности, когда в числителе или знаменателе дроби стоят выражения с квадратными корнями $\sqrt{A}-\sqrt{B}, \sqrt{A}+\sqrt{B}$, где $A, B$ – некоторые подкоренные выражения.

Формулы суммы и разности кубов помогают исключить иррациональности при наличии кубических корней $\sqrt[3]{A}\pm \sqrt[3]{B}, \sqrt[3]{A^2}\mp \sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^2}$, где $A, B$ – некоторые подкоренные выражения.

Пример. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x+2}{\sqrt{x}-3}$.

Решение. Умножим обе части дроби на сопряжённое выражение $\sqrt{x}+3$, получим:

$\frac{(x+2)\cdot (\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)\cdot (\sqrt{x}+3)}.$

Затем сворачиваем знаменатель по формуле разности квадратов:

$\frac{(x+2)\cdot (\sqrt{x}+3)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-3^2}=\frac{(x+2)\cdot (\sqrt{x}+3)}{x-9}.$

Иррациональность из знаменателя исключена.