Упрощение выражений с вложенными корнями

• Преобразовать подкоренное выражение. Например, представить его в виде полного квадрата.
• Использовать готовую формулу сложного радикала. Если подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовую формулу.
• Выполнить алгебраические действия в выражении, содержащем сложные радикалы, применив свойства квадратных корней.

Пример. Упростите выражение $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}}\cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$.
Решение. Сначала нужно привести все числа к основанию два. А затем использовать свойства действий со сложными корнями. Получим:

$\sqrt[3]{2^5\sqrt[4]{2^2}}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt[4]{2^2}}\cdot \sqrt{\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^2}}}=2\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[6]{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[12]{2}=$

$=2\sqrt[12]{2^{8+2+6+3+1}}=2\sqrt[12]{2^{20}}=2\sqrt[3]{32}=4\sqrt[3]{2}.$

Ответ. $4\sqrt[3]{2}$.