Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни

• записать корни в виде степени $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$;

• десятичные дроби записать в виде обыкновенных дробей;
• смешанные дроби перевести в неправильные дроби;
• при необходимости разложить на множители выражение;
• упростить выражение, используя свойства действий со степенями.

Пример. Упростите выражение ${\left(a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}}\right)}^2-2\sqrt[5]{ab}-\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{b}\right)}^{-2}}$.

Решение. Для начала необходимо раскрыть скобки по формуле сокращённого умножения: ${\left(a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}}\right)}^2=a^{\frac{2}{5}}+2a^{\frac{1}{5}}{b}^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{2}{5}}$. Запишем корень пятой степени в виде степени и применить свойство степени произведения: $2\sqrt[5]{ab}=2a^{\frac{1}{5}}{b}^{\frac{1}{5}}$. Преобразуем оставшееся выражение: $\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{b}\right)}^{-2}}=b^{\frac{2}{5}}$. Подставим найденные значения в исходное выражение и приведём подобные слагаемые: ${\left(a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}}\right)}^2-2\sqrt[5]{ab}-\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{b}\right)}^{-2}}=a^{\frac{2}{5}}+$ $+ 2a^{\frac{1}{5}}{b}^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{2}{5}}-a^{\frac{1}{5}}{b}^{\frac{1}{5}}-b^{\frac{2}{5}}=a^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{a^2}$.

Ответ. $\sqrt[5]{a^2}$.