Решение рациональных уравнений методом замены переменной

Метод замены переменной – способ решения рациональных уравнений, который заключается в введении новой переменной, относительно которой уравнение принимает более простой вид.

Пример. Решите уравнение $\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x+8\right)\left(x+6\right)=300.$
Используем способ группировки множителей и раскроем пары скобок:
$\left(\left(x-4\right)\left(x+8\right)\right)\left(\left(x-2\right)\left(x+6\right)\right)=300$;
$\left(x^2+4x-32\right)\left(x^2+4x-12\right)=300.$
Сделаем замену $x^2+4x=t,$ тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
$\left(t-32\right)\left(t-12\right)=300$.

Решим уравнение, получим корни $t_1=42;$ $t_2=2.$
После обратной замены получаем:

$\begin{array}{ccc}{x}^2+4x=42& \mathrm{и}\mathrm{л}\mathrm{и}& x^2+4x=2.\\ x_1=-2+\sqrt{46};& & x_3=-2+\sqrt{6};\\ x_2=-2-\sqrt{46};& & x_4=-2-\sqrt{6}.\end{array}$