Преобразование буквенных выражений со знаком корня. Двойные радикалы

• Преобразование буквенных выражений со знаком корня с помощью:

  • свойств квадратного корня.
    Воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2n}}=a^n.$
    

    $\sqrt{m^{16}{n}^{12}{k}^8}=m^{8·2}{n}^{6·2}{k}^{4·2}=m^8{n}^6{k}^4;$

  • формул сокращённого умножения.
    Воспользуемся формулой a² – b² = (a – b) (a + b).
    

    $\left(\sqrt{2c} - \sqrt{z}\right)\left(\sqrt{2c} + \sqrt{z}\right)={\left(\sqrt{2c}\right)}^2- {\left(\sqrt{z}\right)}^2=2c - z.$

  • освобождения от иррациональности в знаменателе.
    Воспользуемся равенством ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$.

$\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\frac{1}{\sqrt{x+3}}·\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}=\frac{\sqrt{x+3}}{{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x+3}}{x+3}.$

• Выражение вида $\sqrt{a+b\sqrt{c} },$где $a$, $b$, c – некоторые рациональные числа, называют двойным радикалом.

• В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала, представив выражение, стоящее под знаком радикала в виде квадрата суммы или квадрата разности.
  

  $\sqrt{41-12\sqrt{5}}=\sqrt{36+5-2\cdot 6\cdot \sqrt{5}}=\sqrt{6^2-2\cdot 6\cdot \sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=$

  $=\sqrt{{\left(6-\sqrt{5}\right)}^2}=\left|6-\sqrt{5}\right|=6-\sqrt{5}.$