Серия испытаний до первого успеха

• Серия испытаний до первого успеха – это когда при наступлении успеха серии испытаний прекращаются.
• Примеры. Забросить мяч в корзину на баскетбольной площадке. Попасть дротиком в мишень в «Дартсе». Выиграть партию, играя в шахматы.
• Условия проведения испытаний до первого успеха:

  • независимость испытаний;
  • вероятность успеха равна p.

• Когда исследуется случайный опыт, получается некоторая последовательность элементарных событий: $\mathrm{У},$ $\mathrm{Н}У,$ $\mathrm{Н}НУ,$ $\mathrm{Н}ННУ,$ …$,$ где $\mathrm{У}$ – успех, $\mathrm{Н}$ – неудача.

• Вероятность события, в котором перед успехом случилось ровно k неудач, равна:

$𝑃$($\underset{𝑘 \mathrm{н}\mathrm{е}\mathrm{у}\mathrm{д}\mathrm{а}\mathrm{ч} }{\underbrace{\mathrm{Н}\mathrm{Н}\mathrm{Н}\dots \mathrm{Н}\mathrm{У}}}$)$={𝑞}^{𝑘}\cdot 𝑝.$

• Вероятность каждого элементарного события можно найти с помощью правила умножения, где $𝑃 \left(\mathrm{У}\right)=𝑝$; $𝑃 \left(\mathrm{Н}\mathrm{У}\right)=𝑞\cdot 𝑝$; $𝑃 \left(\mathrm{Н}\mathrm{Н}\mathrm{У}\right)={𝑞}^2\cdot 𝑝$; $𝑃 \left(\mathrm{Н}\mathrm{Н}\mathrm{Н}\mathrm{У}\right)={𝑞}^3\cdot 𝑝$ и так далее.

• Вероятность успеха в серии из $𝑘+1$ испытаний находится сложением частных формул $𝑝$, qp, ${𝑞}^2𝑝$, ${𝑞}^3𝑝$, …, ${𝑞}^{𝑘}𝑝$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. При $𝑘=+∞$ сумма членов прогрессии равна $\frac{𝑝}{1-𝑞}=1$, то есть рано или поздно успех обязательно наступит.