Показательное распределение случайной величины

• Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью распределения:
  

  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0, \mathrm{п}\mathrm{р}\mathrm{и} x<0,\hfill \\ \text{λ}{e}^{-\mathrm{\lambda }x}, \mathrm{п}\mathrm{р}\mathrm{и} x\ge 0,\hfill \end{array}\right.$

  где $λ$ – постоянная положительная величина.

• Функция распределения показательного распределения равна:

$F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0, \mathrm{п}\mathrm{р}\mathrm{и} x<0,\hfill \\ 1-\text{λ}{e}^{-\mathrm{\lambda }x}, \mathrm{п}\mathrm{р}\mathrm{и} x\ge 0.\hfill \end{array}\right.$

• Вероятность попадания в интервал $\left(a;b\right)$ непрерывной случайной величины X, распределённой по показательному закону, равна:

$P\left(a<X<b\right)=e^{-\mathrm{\lambda }a}-e^{-\mathrm{\lambda }b}.$

• Числовые характеристики показательного распределения:

  • математическое ожидание $M\left(X\right)=\frac{1}{\mathrm{\lambda }};$

  • дисперсия $D\left(X\right)=\frac{1}{{\mathrm{\lambda }}^2};$

  • среднеквадратичное отклонение $σ=\frac{1}{\mathrm{\lambda }}.$

• Показательное распределение широко используется в системах массового обслуживания.