Математика • 11 класс

Повторение. Вычисление углов в пространстве

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой $\vec{𝐴 𝐵} \{𝑥_{1}, 𝑦_{1}, 𝑧_{1}\}$ . Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор $\vec{𝐶 𝐷} \{𝑥_{2}, 𝑦_{2}, 𝑧_{2}\}$ . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

$\cos (\begin{matrix} \land \\ \vec{𝐴 𝐵}; \vec{𝐶 𝐷} \end{matrix}) = \frac{\vec{𝐴 𝐵} \cdot \vec{𝐶 𝐷}}{|\vec{𝐴 𝐵}| \cdot |\vec{𝐶 𝐷}|} = \frac{|𝑥_{1} 𝑥_{2} + 𝑦_{1} 𝑦_{2} + 𝑧_{1} 𝑧_{2}|}{\sqrt{{𝑥_{1}}^{2} + {𝑦_{1}}^{2} + {𝑧_{1}}^{2}} \cdot \sqrt{{𝑥_{2}}^{2} + {𝑦_{2}}^{2} + {𝑧_{2}}^{2}}}$ .

Алгоритм нахождения величины угла между прямыми:
1. Выбрать направляющие векторы для данных прямых.
2. Вычислить координаты направляющих векторов.
3. Найти $\cos φ = \frac{|\vec{𝑎} \cdot \vec{𝑏}|}{|\vec{𝑎}| \cdot |\vec{𝑏}|}$ .

Было полезно?