Математика • 11 класс

Системы логарифмических уравнений и неравенств с параметром

При решении логарифмических систем уравнений с параметром используют те же методы (подстановки, замены переменных и так далее), что и при решении алгебраических систем, учитывая, что в уравнении вида $\log_{𝑎} 𝑥 = 𝑏$ , $𝑎 > 0,$ $𝑎 \neq 1$ .
При решении логарифмических систем неравенств с параметром рассматриваются отдельно каждое неравенство (используются схемы решения: если $𝑎 > 1$ , то $\log_{𝑎} 𝑓 (𝑥) \leq \log_{𝑎} 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) \leq 𝑔 (𝑥), \\ 𝑓 (𝑥) > 0, \end{matrix}$ если $0 < 𝑎 < 1$ , то $\log_{𝑎} 𝑓 (𝑥) \leq \log_{𝑎} 𝑔 (𝑥) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) \geq 𝑔 (𝑥), \\ 𝑔 (𝑥) > 0 . \end{matrix}$ ), после чего результаты объединяются.
- Пример логарифмической системы уравнений с параметром.
  $\{\begin{matrix} \log_{2} (3 - 𝑥 + 𝑦) + 3 = \log_{2} (25 - 6 𝑥 + 7 𝑦), \\ 𝑦 + 2 = {(𝑥 - 2 𝑎)}^{2} + 𝑎 + 2 𝑥 . \end{matrix}$

Было полезно?