Математика • 11 класс

Тригонометрические неравенства с параметром

Тригонометрические неравенства с параметром — это неравенства, в которых неизвестная переменная содержится под знаком тригонометрической функции, а некоторые коэффициенты заданы параметрами (буквами).
Некоторые методы решения тригонометрических неравенств с параметром:
- метод интервалов;
- геометрический метод или использование единичной окружности;
- анализ периодичности и ограниченности тригонометрических функций;
- рассмотрение различных случаев в зависимости от значения параметра.
Пример. Для каждого значения параметра a решить неравенство $t g (a x + 3) \geq 5$ .
Решение. $ar c tg 5 + π k \leq a x + 3 < \frac{π}{2} + π k$ ; $ar c tg 5 - 3 + π k \leq a x < \frac{π}{2} - 3 + π k$ .
Рассмотрим все возможные случаи при различном значении параметра:
- если $a = 0$ , то решений нет;
- если $a < 0, т о x \in (\frac{\frac{π}{2} - 3}{a} + \frac{π k}{a}; \frac{ar c tg 5 - 3}{a} + \frac{π k}{a}];$
- если $a > 0, т о x \in [\frac{ar c tg 5 - 3}{a} + \frac{π k}{a}; \frac{\frac{π}{2} - 3}{a} + \frac{π k}{a})$ .

Было полезно?