Облако знаний. Тригонометрические уравнения с параметром. Математика. 11 класс

Тригонометрические уравнения с параметром

Тригонометрическое уравнение с линейной или квадратичной функцией и параметром – это уравнение вида $𝐹 (𝑔 (𝑥), 𝑎) = 0$ , где $𝑔 (𝑥)$ – некоторая линейная или квадратичная функция от тригонометрической функции. Такие уравнения решаются аналогично линейным или квадратичным уравнениям с параметром.
При решении тригонометрических уравнений с параметрами также используются тригонометрические преобразования, замены переменных, переход от одного уравнения к системе (совокупности) уравнений и так далее.
Пример решения тригонометрического уравнения с квадратичной функцией и параметром.
${c o s}^{4} 𝑥 - (𝑎 + 2) {c o s}^{2} 𝑥 - (𝑎 + 3) = 0$ .
Решение. Производится замена $𝑡 = {c o s}^{2} 𝑥, 0 \leq 𝑡 \leq 1$ . Решается квадратичное уравнение. Один корень $𝑡_{1} = - 1$ не подходит по определению замены, на второй $𝑡_{2} = 𝑎 + 3$ накладывают ограничения. Возвращаются к исходной переменной. Получается результат.
Ответ. Если $𝑎 < - 3 \cup 𝑎 > 2$ , то решений нет; если $- 3 \leq 𝑎 \leq - 2$ , то $𝑥 = \pm \frac{1}{2} \arccos (2 𝑎 + 5) + π 𝑘$ .

Было полезно?