Облако знаний. Системы показательных уравнений и неравенств с параметром. Математика. 11 класс

Системы показательных уравнений и неравенств с параметром

При решении показательных систем уравнений с параметром используют те же методы (подстановки, замены переменных и так далее), что и при решении алгебраических систем, учитывая, что в уравнении вида $𝑎^{𝑥} = 𝑏$ , $𝑎 > 0, 𝑎 \neq 1$ .
При решении показательных систем неравенств с параметром рассматриваются отдельно каждое неравенство (используются схемы решения: если $𝑎 > 1$ , то $𝑎^{𝑓 (𝑥)} \leq 𝑎^{𝑔 (𝑥)} \Leftrightarrow 𝑓 (𝑥) \leq 𝑔 (𝑥)$ ; если $0 < 𝑎 < 1$ , то $𝑎^{𝑓 (𝑥)} \leq 𝑎^{𝑔 (𝑥)} \Leftrightarrow 𝑓 (𝑥) \geq 𝑔 (𝑥)$ ), после чего результаты объединяются.
Пример.
$\{\begin{matrix} (2^{𝑥} + 1) 2^{𝑦 + 1} = 𝑎, \\ \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}} = 𝑥 + 𝑦 . \end{matrix}$
Решение. Из второго уравнения следует два возможных случая: $𝑥 = 0, 𝑦 \geq 0$ и $𝑥 \geq 0, 𝑦 = 0$ . Рассматривая эти случаи, получаем решение системы.
Ответ. При $𝑎 < 4$ решений нет; при $𝑎 \geq 4 ⟹ 𝑥_{1} = 0, 𝑦_{1} = - 2 + \log_{2} 𝑎; 𝑥_{2} = \log_{2} \frac{𝑎 - 2}{2}, 𝑦_{2} = 0 .$

Было полезно?