Математика • 11 класс

Показательные неравенства с параметром

При решении показательных неравенств с параметром применяются те же методы, что и при решении рациональных и иррациональных неравенств.
Если все выражения удаётся свести к одному основанию, то можно использовать следующие схемы:
- при $𝑎 > 1$ , то $𝑎^{𝑓 (𝑥)} \leq 𝑎^{𝑔 (𝑥)} \Leftrightarrow 𝑓 (𝑥) \leq 𝑔 (𝑥)$ ;
- при $0 < 𝑎 < 1$ , то $𝑎^{𝑓 (𝑥)} \leq 𝑎^{𝑔 (𝑥)} \Leftrightarrow 𝑓 (𝑥) \geq 𝑔 (𝑥)$ .
Пример. Для каждого значения параметра a решить неравенство.
$𝑎^{𝑥^{2} - 𝑥} < 1$ .
Решение. Рассматриваем значения только при $𝑎 > 0$ . При $𝑎 = 1$ решений нет. При $𝑎 > 1$ получаем $𝑥^{2} - 𝑥 < 0$ , при $0 < 𝑎 < 1$ получаем $𝑥^{2} - 𝑥 > 0$ .
Ответ. При $𝑎 \leq 0, 𝑎 = 1$ решений нет; если $0 < 𝑎 < 1$ , то $𝑥 \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ ; если $𝑎 > 1$ , то $𝑥 \in (0; 1)$

Было полезно?