Облако знаний. Показательные уравнения с параметром. Математика. 11 класс

Показательные уравнения с параметром

Показательное уравнение с параметром – это уравнение вида $𝑎^{𝑥} = 𝑏$ , где $𝑎 > 0, 𝑎 \neq 1$ , в котором присутствует параметр. Это уравнение при $𝑏 \leq 0$ корней не имеет, а при $𝑏 > 0$ имеет единственный корень $𝑥 = \log_{𝑎} 𝑏$ .
Методы решения показательных уравнений для исследования задач, содержащих параметр:
- привести уравнение к простейшему виду (замена переменной, разложение на множители);
- привести обе части к одному основанию и использовать свойства монотонности показательной функции;
- применить основное логарифмическое тождество: ${φ (𝑥)}^{\log_{φ (𝑥)} 𝑓 (𝑥)} = 𝑔 (𝑥) ⟹ 𝑓 (𝑥) = 𝑔 (𝑥)$ ;
- применить преобразования логарифмирования или потенцирования.
Пример. Для каждого значения параметра a решить уравнение.
$3 \cdot 4^{𝑥 - 2} + 27 = 𝑎 + 𝑎 \cdot 4^{𝑥 - 2}$ .
Решение. Применяется замена; получается линейное уравнение; анализируется решение при $𝑎 = 3$ и $𝑎 \neq 3$ ; при подходящих значениях a находится корень уравнения.
Ответ. Если $𝑎 \in (3; 27)$ , то $𝑥 = \log_{4} \frac{27 - 𝑎}{𝑎 - 3} + 2$ ; при других a решений нет.

Было полезно?