Математика • 11 класс

Логарифмические уравнения с параметром

Логарифмическое уравнение с параметром – это уравнение вида $\log_{a} x = b,$ где $a > 0,$ $a \neq 1$ , в котором присутствует параметр. Уравнение имеет единственный корень $x = a^{b}$ .
Методы решения логарифмических уравнений для исследования задач, содержащих параметр:
- замена $t = \log_{a} x;$
- равносильные переходы;
- использование формулы ${f (x)}^{\log_{a} g (x)} = {g (x)}^{\log_{a} f (x)},$ где $a > 0, a \neq 1, f (x) > 0, g (x) > 0$ ;
- использование формулы $\log_{φ (x)} f (x) = \frac{1}{\log_{f (x)} φ (x)},$ где; $φ (x) > 0, φ (x) \neq 1, f (x) > 0, f (x) \neq 1$ .
  Пример. Для каждого значения параметра a решить уравнение
  $\log_{\sqrt{a}} \frac{\sqrt{2 a - x}}{a} - \log_{\frac{1}{a}} x = 0 .$
  Решение. Находим ОДЗ; преобразуем, пользуясь свойствами логарифмов; получаем ${(x - a)}^{2} = 0 .$
  Ответ. Если $a \leq 0$ , или $a = 0$ , то решений нет; если $a > 0, a \neq 1$ , то $x = a$ .

Было полезно?