Комбинированные системы уравнений

Пример 1. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{c}{2}^x+y=5,\hfill \\ x-{\text{log}}_2 y=2.\hfill \end{array}\right.$
Воспользуемся методом подстановки: из второго уравнения системы выразим $x=2+{\text{log}}_2 y$ и подставим в первое уравнение:

$2^{2+{\text{log}}_{\text{2}} y}+y=5,\Rightarrow 2^2\cdot 2^{{\text{log}}_{\text{2}} y}+y=5\Rightarrow 4y+y=5,\Rightarrow y=1.$

$x=2+{\text{log}}_{\text{2}} 1,\Rightarrow x=2,\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=2,\hfill \\ y=1.\hfill \end{array}\right.$

Пример 2. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{c}xy=3,\hfill \\ x^2+y^2=10.\hfill \end{array}\right.$ Воспользуемся методом сложения, предварительно умножив первое уравнение на 2:

$\left\{\begin{array}{c}2xy=6,\hfill \\ x^2+y^2=10.\hfill \end{array}\right.$

$x^2+2xy+y^2=10+6,{\left(x+y\right)}^2=16,\Rightarrow x+y=\pm 4,\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}xy=3,\hfill \\ x=\pm 4-y\hfill \end{array}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y=\frac{3}{x},\hfill \\ x=\pm 4-y;\hfill \end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{c}y=1,\hfill \\ x=4-y;\hfill \end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{c}y=3,\hfill \\ x=4-y;\hfill \end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{c}y=-1,\hfill \\ x=-4-y;\hfill \end{array}\Rightarrow \right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y=-3,\hfill \\ x=-4-y.\hfill \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=3,\hfill \\ y=1;\hfill \end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{c}x=1,\hfill \\ y=3;\hfill \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=-3,\hfill \\ y=-1;\hfill \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=-1,\hfill \\ y=-3.\hfill \end{array}\right.$