Облако знаний. Системы логарифмических уравнений и неравенств. Математика. 11 класс

Системы логарифмических уравнений и неравенств

При решении систем логарифмических уравнений используют способ замены переменных, алгебраического сложения и так далее, а также свойства логарифмических функций.
При решении систем логарифмических неравенств используется метод интервалов и методы, применяемые при решении логарифмических неравенств.
Примеры.

Решите систему уравнений	Решите систему неравенств
$\{\begin{matrix} \log_{2} (𝑥 + 2 𝑦) = 5, \\ \log_{5} (𝑥 + 𝑦) = 1 . \end{matrix}$ Оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма. $\{\begin{matrix} 𝑥 + 2 𝑦 = 2^{5}, \\ 𝑥 + 𝑦 = 5^{1}, \end{matrix}$ $\{\begin{matrix} 𝑥 = - 22, \\ 𝑦 = 27 . \end{matrix}$ Ответ: $(- 22; 27)$	$\{\begin{matrix} \log_{2} (𝑥 + 2) \leq 4, \\ \log_{3} (5 𝑥 - 4) > \log_{3} (𝑥 + 3) . \end{matrix}$ Решаем оба неравенства, получаем решения. $\{\begin{matrix} - 2 < 𝑥 \leq 14, \\ 𝑥 > 1,75 . \end{matrix}$ Получаем пересечение решений. Ответ: $(1,75; 14]$

Решите систему уравнений

Решите систему неравенств

$\{\begin{matrix} \log_{2} (𝑥 + 2 𝑦) = 5, \\ \log_{5} (𝑥 + 𝑦) = 1 . \end{matrix}$

Оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма.

$\{\begin{matrix} 𝑥 + 2 𝑦 = 2^{5}, \\ 𝑥 + 𝑦 = 5^{1}, \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 𝑥 = - 22, \\ 𝑦 = 27 . \end{matrix}$

Ответ: $(- 22; 27)$

$\{\begin{matrix} \log_{2} (𝑥 + 2) \leq 4, \\ \log_{3} (5 𝑥 - 4) > \log_{3} (𝑥 + 3) . \end{matrix}$

Решаем оба неравенства, получаем решения.

$\{\begin{matrix} - 2 < 𝑥 \leq 14, \\ 𝑥 > 1,75 . \end{matrix}$

Получаем пересечение решений.

Ответ: $(1,75; 14]$

Было полезно?