Системы логарифмических уравнений и неравенств

• способ замены переменных;
• метод алгебраического сложения;
• использование свойств логарифмических функций;
• метод интервалов;
• метод логарифмирования;
• использование основного логарифмического тождества.

Пример 1. Решите систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2 \left(x+2y\right)=5,\hfill \\ {\log }_5 \left(x+y\right)=1.\hfill \end{array}\right.$

Решение. Оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма. Получим:

$\left\{\begin{array}{c}x+2y=2^5,\hfill \\ x+y=5^1,\hfill \end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x=-22,\hfill \\ y=27.\hfill \end{array}\right.$

Ответ. $\left(-22; 27\right)$.

Пример 2. Решите систему неравенств

$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2 \left(x+2\right)\le 4,\hfill \\ {\log }_3 \left(5x-4\right)>{\log }_3 \left(x+3\right).\hfill \end{array}\right.$

Решаем оба неравенства, получаем решения:

$\left\{\begin{array}{c}-2<x\le 14,\hfill \\ x>\mathrm{1,75}.\hfill \end{array}\right.$

РешениеПолучаем пересечение решений.

Ответ. $x\in \left(\mathrm{1,75}; \right.\left.14\right].$