Системы логарифмических уравнений и неравенств

способ замены переменных;

метод алгебраического сложения;

использование свойств логарифмических функций;

метод интервалов;

метод логарифмирования;

использование основного логарифмического тождества.
Пример 1. Решите систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2 \left(x+2y\right)=5,\hfill \\ {\log }_5 \left(x+y\right)=1.\hfill \end{array}\right.$

Решение. Оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма. Получим:

$\left\{\begin{array}{c}x+2y=2^5,\hfill \\ x+y=5^1,\hfill \end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x=-22,\hfill \\ y=27.\hfill \end{array}\right.$

Ответ. $\left(-22; 27\right)$.
Пример 2. Решите систему неравенств

$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2 \left(x+2\right)\le 4,\hfill \\ {\log }_3 \left(5x-4\right)>{\log }_3 \left(x+3\right).\hfill \end{array}\right.$

Решение. Решаем оба неравенства, получаем решения:

$\left\{\begin{array}{c}-2<x\le 14,\hfill \\ x>\mathrm{1,75}.\hfill \end{array}\right.$

Получаем пересечение решений.
Ответ. $x\in \left(\mathrm{1,75}; \right.\left.14\right].$