Решение нелинейных уравнений в целых числах (диофантовых уравнений)

• Нелинейное уравнение в целых числах – это уравнение, в котором неизвестная переменная является целым числом и не линейна.
• Методы решения:

  • шаговый метод: задаются интервалы поиска, отделяются корни уравнения на каждом интервале, уточняются корни (с помощью других методов);

  • метод Ньютона: если известно начальное приближение корня уравнения ${𝑥}_0$, то последовательные приближения находят по формуле:

${𝑥}_{𝑖}={𝑥}_{𝑖-1}-\frac{𝑓\left({𝑥}_{𝑖-1}\right)}{{𝑓}^{\prime }\left({𝑥}_{𝑖-1}\right)}.$

• метод половинного деления: если ${𝑥}_0,{𝑥}_1$ – приближенные значения корня уравнения $𝑓\left(𝑥\right)=0$ и выполняется условие $𝑓\left({𝑥}_0\right)\cdot 𝑓\left({𝑥}_1\right)<0$, то последующие приближения находятся по формуле:

  ${𝑥}_{𝑖}=\frac{{𝑥}_{𝑖-1}+{𝑥}_{𝑖-2}}{2},$

  далее вычисляется $𝑓\left({𝑥}_1\right)$. Если $𝑓\left({𝑥}_1\right)=0$, то корень найден, в противном случае проделывается аналогичная операция;

• метод хорд: если ${𝑥}_0,{𝑥}_1$ – приближенные значения корня уравнения $𝑓\left(𝑥\right)=0$ и выполняется условие $𝑓\left({𝑥}_0\right)\cdot 𝑓\left({𝑥}_1\right)<0$, то последующие приближения находятся по формуле:

  ${𝑥}_{𝑖}={𝑥}_{𝑖-1}-\frac{𝑓\left({𝑥}_{𝑖-1}\right)}{𝑓\left({𝑥}_{𝑖-1}\right)-𝑓\left({𝑥}_{𝑖-2}\right)}\cdot \left({𝑥}_{𝑖-1}-{𝑥}_{𝑖-2}\right).$