Облако знаний. Решение логарифмических неравенств методом последовательных упрощений. Математика. 11 класс

Решение логарифмических неравенств методом последовательных упрощений

Метод последовательных упрощений – способ решения логарифмических неравенств, основанный на использовании свойств логарифмов.
Нужно привести неравенство к виду, где можно избавиться от логарифмов и сравнить подлогарифмические функции.
Преобразования должны быть равносильными, то есть не менять область определения неравенства (ОДЗ).
Алгоритм решения логарифмического неравенства методом последовательных упрощений:
- найти ОДЗ;
- упростить выражения слева и справа от знака неравенства, используя свойства логарифмов, если это возможно;
- если основания логарифмов одинаковые, избавиться от логарифмов, в противном случае – используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия;
- решить неравенство, пересечь с ОДЗ, записать ответ.
  Пример. Решите неравенство ${log}_{2} (3 x - 1) > - 1 .$
  Решение. ОДЗ: $3 - x > 0; x < 3$ .
  Приведём правую часть неравенства к логарифму с таким же основанием, как в левой. Получим: $\log_{2} (3 x - 1) > \log_{2} 0, 5$ . Избавимся от логарифмов (так как основание логарифма больше единицы, то знаки неравенства не меняются). Тогда: $3 x - 1 > 0,5; x > 2,5$ . Пересечём решение с ОДЗ.
  Ответ. $x \in (2,5; 3)$ .

Было полезно?