Математика • 11 класс

Решение логарифмических неравенств методом последовательных упрощений

Методы решения логарифмических неравенств:
1. переход к равносильному неравенству: при $𝑎 > 1$ неравенство $\log_{𝑎} 𝑥_{1} > \log_{𝑎} 𝑥_{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $𝑥_{1} > 𝑥_{2} > 0$ ; при $0 < 𝑎 < 1$ неравенство $\log_{𝑎} 𝑥_{1} > \log_{𝑎} 𝑥_{2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $0 < 𝑥_{1} < 𝑥_{2}$ ;
2. графический метод;
3. замена переменной.
Пример. Решите неравенство $\log_{2} (𝑥 - 2) \leq 1 - \log_{2} (𝑥 - 3)$ .
$\log_{2} (𝑥 - 2) + \log_{2} (𝑥 - 3) \leq 1$ ,
$\log_{2} (𝑥 - 2) (𝑥 - 3) \leq 1$ ,
$\log_{2} (𝑥 - 2) (𝑥 - 3) \leq \log_{2} 2$ ,
$\{\begin{matrix} (𝑥 - 3) (𝑥 - 2) \leq 2, \\ 𝑥 > 3 . \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 1 \leq 𝑥 \leq 4, \\ 𝑥 > 3 . \end{matrix}$
$𝑥 \in (3; 4]$ .
Ответ: $(3; 4]$ .
Пример. Решите неравенство $\lg^{2} 𝑥 - \lg 𝑥 \leq 2$ .
$\lg^{2} 𝑥 - \lg 𝑥 - 2 \leq 0$ ,
Пусть $𝑡 = \lg 𝑥$ , тогда $𝑡^{2} - 𝑡 - 2 \leq 0$ ,
$- 1 \leq 𝑡 \leq 2$ ,
Обратная замена: $- 1 \leq \lg 𝑥 \leq 2$ ,
$0,1 \leq 𝑥 \leq 100 .$
Ответ: $[0,1; 100] .$

Было полезно?