Математика • 11 класс

Простейшие показательные неравенства

Неравенства вида a^x ＞ b (знак неравенства может быть любым) называют простейшими показательными неравенствами, a – положительное, не равное 1 число, b – действительное число.
Примеры.
$2^{x} > 8 .$
$5^{x} \leq 125 .$
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве функции y = a^x: функция возрастает при a ＞ 1 и убывает при 0 ＜ a ＜ 1.
Пример. Решить неравенство 0,5^7 – 3^x ＜ 4. Так как 0,5^–2 = 4, то можно переписать неравенство в виде 0,5^7 – 3^x ＜ 0,5^–2. Показательная функция y = 0,5^x убывает (основание 0,5 ＜ 1), поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 – 3x ＞ –2, получаем x ＜ 3.
Ответ. (–∞; 3).