Математика • 11 класс

Решение показательных неравенств методом последовательных упрощений

Методы решения показательных неравенств:
1. переход к равносильному неравенству: при $𝑎 > 1$ неравенство $𝑎^{𝑥_{1}} > 𝑎^{𝑥_{2}}$ выполняется тогда и только тогда, когда $𝑥_{1} > 𝑥_{2}$ ; при $0 < 𝑎 < 1$ неравенство $𝑎^{𝑥_{1}} > 𝑎^{𝑥_{2}}$ выполняется тогда и только тогда, когда $𝑥_{1} < 𝑥_{2}$ ;
2. графический метод;
3. замена переменной.
Пример 1. Решите неравенство $4^{𝑥^{2} - 𝑥} > 16 .$
Решение.
$4^{𝑥^{2} - 𝑥} > 4^{2},$
$т а к к а к 4 > 1, т о 𝑥^{2} - 𝑥 > 2,$
$𝑥^{2} - 𝑥 - 2 > 0,$
$𝑥 \in (- \infty; - 1) \cup (2; + \infty) .$
Ответ: $(- \infty; - 1) \cup (2; + \infty) .$
Пример 2. Решите неравенство ${(\frac{1}{3})}^{𝑥 + 2} + {(\frac{1}{3})}^{𝑥 - 1} < 9 \frac{1}{3} .$
Решение.
${(\frac{1}{3})}^{𝑥} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{𝑥} \cdot {(\frac{1}{3})}^{- 1} < 9 \frac{1}{3},$
$3 \frac{1}{9} \cdot {(\frac{1}{3})}^{𝑥} < 9 \frac{1}{3},$
${(\frac{1}{3})}^{𝑥} < 3,$
${(\frac{1}{3})}^{𝑥} < {(\frac{1}{3})}^{- 1},$
$т а к к а к 0 < \frac{1}{3} < 1, т о 𝑥 > - 1 .$
Ответ: $𝑥 > - 1 .$

Было полезно?