Формула полной вероятности

• Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий ${𝐵}_1, {𝐵}_2, \dots , {𝐵}_{𝑛}$, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле, которая называется формулой полной вероятности:

$𝑃 \left(𝐴\right)=𝑃 \left({𝐵}_1\right)\cdot 𝑃 \left(\frac{𝐴}{{𝐵}_1}\right)+𝑃 \left({𝐵}_2\right)\cdot 𝑃 \left(\frac{𝐴}{{𝐵}_2}\right)+ \dots +𝑃 \left({𝐵}_{𝑛}\right)\cdot 𝑃 \left(\frac{𝐴}{{𝐵}_{𝑛}}\right)=$

$={\sum }_{𝑖=1}^{𝑛}𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}\right)\cdot 𝑃 \left(\frac{𝐴}{{𝐵}_{𝑖}}\right).$

• Пример. В детском саду три группы: младшая (Мл), средняя (Ср) и старшая (Ст). В младшую и старшую ходят по 15 человек, а в среднюю – 20 человек. Детей которые ходят в кружки в младшей группе – 10 человек, в средней – 15 человек, в старшей – 5 человек. Какова вероятность, что произвольно выбранный ребёнок ходит в кружок?

  Решение. Пусть событие $𝐴=\left\{\mathrm{х}\mathrm{о}\mathrm{д}\mathrm{и}\mathrm{т} \mathrm{в} \mathrm{к}\mathrm{р}\mathrm{у}\mathrm{ж}\mathrm{о}\mathrm{к}\right\}$, ${𝐵}_{𝑖}=\left\{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{б}\mathrm{ё}\mathrm{н}\mathrm{о}\mathrm{к} 𝑖 \mathrm{г}\mathrm{р}\mathrm{у}\mathrm{п}\mathrm{п}\mathrm{ы}\right\}, 𝑖=1, 2, 3.$

  $𝑃 \left(𝐴\right)= {\sum }_{𝑖=1}^3𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_{𝑖}\right)=\mathrm{0,6}.$