Формула полной вероятности. Формула Байеса

• Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий ${𝐵}_1, {𝐵}_2, \dots , {𝐵}_{𝑛}$, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле, которая называется формулой полной вероятности:

$𝑃 \left(𝐴\right)=𝑃 \left({𝐵}_1\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_1\right)+𝑃 \left({𝐵}_2\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_2\right)+ \dots +𝑃 \left({𝐵}_{𝑛}\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_{𝑛}\right)= {\sum }_{𝑖=1}^{𝑛}𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_{𝑖}\right)$.

• События ${𝐵}_1, {𝐵}_2, \dots , {𝐵}_{𝑛}$ называют гипотезами.

• Из формулы полной вероятности следует формула Байеса:

$𝑃 \left({𝐵}_1/𝐴\right)=\frac{𝑃 \left(𝐴{𝐵}_1\right)}{𝑃 \left(𝐴\right)}=\frac{𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_1\right)\cdot 𝑃 \left({𝐵}_1\right)}{𝑃 \left(𝐴\right)}$

• Для остальных гипотез:

$𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}/𝐴\right)=\frac{𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_{𝑖}\right)\cdot 𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}\right)}{𝑃 \left({𝐵}_1\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_1\right)+𝑃 \left({𝐵}_2\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_2\right)+ \dots +𝑃 \left({𝐵}_{𝑛}\right)\cdot 𝑃 \left(𝐴/{𝐵}_{𝑛}\right)}$,

где $𝑖=1, 2, \dots , 𝑛.$

• Вероятности гипотез $𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}/𝐴\right)$ называются апостериорными вероятностями, а $𝑃 \left({𝐵}_{𝑖}\right)$ – априорными вероятностями.